Discussione:Base duale

Dici che il concetto di base duale in V è desueto. Ebbene, mi sembra che il fatto che sia desueto escluda il linea di principio che possa trattarsi di un lavoro originale. Se c'è un modo di trattare un argomento che è un po' sorpassato, evidentemente tutti gli addetti ai lavori lo conoscono, tant'è che hanno deciso di adottarne uno più moderno. Il punto è che spesso il modo più moderno di solito è anche quello più generale, che consente di ridurre al minimo le ipotesi, ma richiede anche una notevole padronanza del mezzo e una notevole capacità di astrazione, per cui spesso non è quello più indicato per spiegare l'argomento a chi ne sia digiuno. Ad esempio chi non abbia mai sentito parlare di varietà e dei relativi concetti farà bene a impratichirsi con le sottovarietà geometriche dello spazio euclideo, per poi arrivare, piano piano, alla trattazione intrinseca delle varietà topologiche o non so cosa. Ora, tornando al nostro caso, che è quello delle componenti controvarianti e covarianti intese come proiezione "parallela" e "ortogonale" sugli assi di un sistema di riferimento, è una cosa che si vede fare spessimo quando si illustrano quei concetti con dei disegni. La stessa Wikipedia riporta diversi casi, come si vede ad esempio in diverse sezioni della voce en:Covariance and contravariance of vectors e in particolare qui. Proprio in quella voce ci sono dei disegni in cui vengono riportate le due basi su uno spazio tangente ad una varietà, e si parla di proiezioni "parallele" e "ortogonali". Sennonché, nonostante si dia graficamente e fra le righe quella interpretazione geometrica, poi in tutte le definizioni si usano lo spazio tangente e cotangente, alternando due approcci diversi fra loro, che possono essere ricondotti l'uno all'altro solo per mezzo di un'altra astrazione sul concetto di "parallelo" e "ortogonale" (e resterebbe comunque il problema dei "disegni"). Allora tanto vale dire esplicitamente che ci sono due approcci: uno più intuitivo e tipicamente geometrico, l'altro più astratto. Il secondo consente di estendere quei concetti a dei casi più generali, ma come primo approccio si può usare il primo. Basta dirlo esplicitamente anziché "fare finta di niente" e poi diventare ambigui ogni volta che si cerca di illustrare con degli esempi un certo concetto. Ciao. --..|DP|.. 19:52, 29 ago 2007 (CEST)